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Table 3 The real-valued functions (nm)!(n+m)! U n m (r)= r 2 n + 1 T n m (r) for n6

From: A fast multipole method for stellar dynamics

m n

0

1

2

3

4

5

6

6

      

10395( x 6 15 x 4 y 2 +15 x 2 y 4 y 6 )

5

     

945x( x 4 10 x 2 y 2 +5 y 4 )

10395xz( x 4 10 x 2 y 2 +5 y 4 )

4

    

105( x 4 6 x 2 y 2 + y 4 )

945z( x 4 6 x 2 y 2 + y 4 )

945( x 4 6 x 2 y 2 + y 4 )(11 z 2 r 2 )

3

   

15x( x 2 3 y 2 )

105xz( x 2 3 y 2 )

105x( x 2 3 y 2 )(9 z 2 r 2 )

945zx( x 2 3 y 2 )(11 z 2 3 r 2 )

2

  

3( x 2 y 2 )

15z( x 2 y 2 )

15( x 2 y 2 )(7 z 2 r 2 )

315z( x 2 y 2 )(3 z 2 r 2 )

315( x 2 y 2 )(33 z 4 18 z 2 r 2 + r 4 )

1

 

x

3xz

3x(5 z 2 r 2 )

15xz(7 z 2 3 r 2 )

45x(21 z 4 14 z 2 r 2 + r 4 )

315xz(33 z 4 30 z 2 r 2 +5 r 4 )

0

1

z

3 z 2 r 2

3z(5 z 2 3 r 2 )

3(35 z 4 30 z 2 r 2 +3 r 4 )

15z(63 z 4 70 z 2 r 2 +15 r 4 )

45(231 z 6 315 z 4 r 2 +105 z 2 r 4 5 r 6 )

−1

 

y

3yz

3y(5 z 2 r 2 )

15yz(7 z 2 3 r 2 )

45y(21 z 4 14 z 2 r 2 + r 4 )

315yz(33 z 4 30 z 2 r 2 +5 r 4 )

−2

  

6xy

30xyz

30xy(7 z 2 r 2 )

630xyz(3 z 2 r 2 )

630xy(33 z 4 18 z 2 r 2 + r 4 )

−3

   

15y(3 x 2 y 2 )

105yz(3 x 2 y 2 )

105y(3 x 2 y 2 )(9 z 2 r 2 )

945zy(3 x 2 y 2 )(11 z 2 3 r 2 )

−4

    

420xy( x 2 y 2 )

3780xyz( x 2 y 2 )

3780xy( x 2 y 2 )(11 z 2 r 2 )

−5

     

945y(5 x 4 10 x 2 y 2 + y 4 )

10395yz(5 x 4 10 x 2 y 2 + y 4 )

−6

      

20790xy(3 x 2 y 2 )( x 2 3 y 2 )

  1. See equations (58) for the relations to ϒ n m (r) and Θ n m (r).