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Table 3 The real-valued functions (nm)!(n+m)! U n m (r)= r 2 n + 1 T n m (r) for n6

From: A fast multipole method for stellar dynamics

m n 0 1 2 3 4 5 6
6        10395( x 6 15 x 4 y 2 +15 x 2 y 4 y 6 )
5       945x( x 4 10 x 2 y 2 +5 y 4 ) 10395xz( x 4 10 x 2 y 2 +5 y 4 )
4      105( x 4 6 x 2 y 2 + y 4 ) 945z( x 4 6 x 2 y 2 + y 4 ) 945( x 4 6 x 2 y 2 + y 4 )(11 z 2 r 2 )
3     15x( x 2 3 y 2 ) 105xz( x 2 3 y 2 ) 105x( x 2 3 y 2 )(9 z 2 r 2 ) 945zx( x 2 3 y 2 )(11 z 2 3 r 2 )
2    3( x 2 y 2 ) 15z( x 2 y 2 ) 15( x 2 y 2 )(7 z 2 r 2 ) 315z( x 2 y 2 )(3 z 2 r 2 ) 315( x 2 y 2 )(33 z 4 18 z 2 r 2 + r 4 )
1   x 3xz 3x(5 z 2 r 2 ) 15xz(7 z 2 3 r 2 ) 45x(21 z 4 14 z 2 r 2 + r 4 ) 315xz(33 z 4 30 z 2 r 2 +5 r 4 )
0 1 z 3 z 2 r 2 3z(5 z 2 3 r 2 ) 3(35 z 4 30 z 2 r 2 +3 r 4 ) 15z(63 z 4 70 z 2 r 2 +15 r 4 ) 45(231 z 6 315 z 4 r 2 +105 z 2 r 4 5 r 6 )
−1   y 3yz 3y(5 z 2 r 2 ) 15yz(7 z 2 3 r 2 ) 45y(21 z 4 14 z 2 r 2 + r 4 ) 315yz(33 z 4 30 z 2 r 2 +5 r 4 )
−2    6xy 30xyz 30xy(7 z 2 r 2 ) 630xyz(3 z 2 r 2 ) 630xy(33 z 4 18 z 2 r 2 + r 4 )
−3     15y(3 x 2 y 2 ) 105yz(3 x 2 y 2 ) 105y(3 x 2 y 2 )(9 z 2 r 2 ) 945zy(3 x 2 y 2 )(11 z 2 3 r 2 )
−4      420xy( x 2 y 2 ) 3780xyz( x 2 y 2 ) 3780xy( x 2 y 2 )(11 z 2 r 2 )
−5       945y(5 x 4 10 x 2 y 2 + y 4 ) 10395yz(5 x 4 10 x 2 y 2 + y 4 )
−6        20790xy(3 x 2 y 2 )( x 2 3 y 2 )
  1. See equations (58) for the relations to ϒ n m (r) and Θ n m (r).